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열 방정식

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목차

1. 개요

열 방정식은 온도 분포를 나타내는 함수가 열전도율에 따라 전도되는 현상을 묘사하는 편미분 방정식이다. n차원 유클리드 공간에서 라플라스 연산자를 사용하여 표현되며, 리만 다양체 위에서는 라플라스-벨트라미 연산자를 사용한다. 열 방정식은 열의 흐름을 수학적으로 나타내며, 그린 함수(열핵), 푸리에 급수 등 다양한 해법을 통해 풀 수 있다. 물리적 현상, 입자 확산, 브라운 운동, 슈뢰딩거 방정식, 금융 수학, 이미지 분석, 고분자의 열 확산율, 리만 기하학 등 다양한 분야에 응용된다.

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열 방정식

2. 정의

n영어차원 유클리드 공간에서 실함수 u(t,\mathbf x)\colon\mathbb R\times\mathbb R^n\to\mathbb R가 온도 분포를 나타낸다고 할 때, 열이 열전도율 D를 따라 전도된다면 u는 다음과 같은 2차 편미분 방정식을 만족한다.

:\dot u=D\nabla^2u

여기서 \nabla^2는 n차원 공간에서의 라플라스 연산자이다. 이 편미분 방정식을 '''열 방정식'''이라고 한다.

보다 일반적으로, n차원 리만 다양체 위에서의 열 방정식을 정의할 수 있다. 이때 \nabla^2는 라플라스-벨트라미 연산자가 된다.

2. 1. 기본 형태

Euclidean space|유클리드 공간영어에서 실함수 u(t,\mathbf x)\colon\mathbb R\times\mathbb R^n\to\mathbb R가 온도 분포를 나타낸다고 할 때, 열이 열전도율 D를 따라 전도된다면 u는 다음과 같은 2차 편미분 방정식을 만족한다.

:\dot u=D\nabla^2u

여기서 \nabla^2는 n차원 공간에서의 라플라스 연산자이다. 이 편미분 방정식을 '''열 방정식'''이라고 한다.

일반적으로, n차원 리만 다양체 위에서의 열 방정식을 정의할 수 있다. 이때 \nabla^2는 라플라스-벨트라미 연산자가 된다.[1]

수학에서, 유클리드 공간의 열린 부분 집합 U와 실수의 하위 구간 I가 주어지면, 함수 u : U \times I \to \mathbb R가 다음을 만족하면 '''열 방정식'''의 해라고 한다.[2]

:\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} + \cdots + \frac{\partial^2 u}{\partial x_n^2}

여기서 (x_1, ..., x_n, t)는 영역의 일반적인 점을 나타낸다. 추상적인 맥락에서도 t를 "시간"으로, (x_1, ..., x_n)을 "공간 변수"로 지칭한다. 공간 변수의 집합은 종종 간단히 x로 지칭된다. 주어진 t 값에 대해, 방정식의 우변은 함수 u(⋅, t) : U \to \mathbb R의 라플라스 연산자이다. 따라서, 열 방정식은 다음과 같이 더 간결하게 쓸 수 있다.[2]

:\frac{\partial u}{\partial t}=\Delta u

물리학 및 공학적 맥락, 특히 매질을 통한 확산과 관련하여, 데카르트 좌표계를 고정하고 세 개의 공간 변수 (x, y, z)와 시간 변수 t의 함수 u(x, y, z, t)의 특정 경우를 고려하는 것이 더 일반적이다. 그런 다음 u가 다음을 만족하면 열 방정식의 해라고 한다.[3]

:\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha\left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}\right)

여기서 \alpha는 매질의 열 확산율이라고 하는 양의 계수이다. 이 방정식은 균질하고 등방성인 매질에서의 열 흐름을 설명하며, u(x, y, z, t)는 점 (x, y, z)와 시간 t에서의 온도이다. 매질이 균질하고 등방성이 아닌 경우, \alpha는 고정된 계수가 아니며, 대신 (x, y, z)에 의존하고, 방정식의 형태도 약간 다를 것이다. 물리학 및 공학 문헌에서는 \nabla^2를 \Delta 대신 라플라스 연산자를 나타내는 데 사용한다.[3]

수학뿐만 아니라 물리학 및 공학에서도, 시간 도함수에 뉴턴 표기법을 사용하여, \dot u는 \frac{\partial u}{\partial t}를 나타낸다.[4]

:\dot u=\Delta u

공간 변수를 명시적으로 언급하지 않고도 라플라스 연산자를 나타내기 위해 \Delta 또는 \nabla^2를 모두 사용할 수 있다. 이는 라플라스 연산자가 좌표계의 선택과 무관하다는 것을 반영한다. 수학적 용어로, 라플라스 연산자는 "병진 및 회전 불변"이라고 할 수 있다. 이는 열 확산이 주요 예인 균질하고 등방성인 모든 물리적 현상을 모델링하는 데 라플라스 연산자와 열 방정식을 사용하는 것을 정당화한다.[4]

2. 2. 물리적 의미

열역학 제2법칙에 따라, 열은 더 뜨거운 물체에서 인접한 더 차가운 물체로 온도 차이와 두 물체 사이 물질의 열전도율에 비례하여 흐른다. 열이 물질로 흘러 들어갈 때(또는 흘러나갈 때), 해당 물질의 온도는 열의 양을 물질의 양(질량)으로 나눈 값에 비례하여 증가(또는 감소)하며, 이때의 비례 상수를 물질의 비열이라고 한다.

라플라스 연산자는 한 점의 주변에서 함수의 평균값과 해당 점에서의 값의 차이를 나타낸다. 따라서 \dot u가 온도를 나타낼 때, \nabla^2 u는 각 점 주변의 물질이 해당 점의 물질보다 평균적으로 더 뜨거운지 또는 더 차가운지를 (그리고 얼마나 더 뜨거운지 또는 차가운지) 나타낸다.

이러한 관찰들을 조합하여, 열 방정식은 한 점의 물질이 얼마나 빨리 가열(또는 냉각)되는가가 주변 물질이 얼마나 더 뜨겁거나 차가운지에 비례한다고 말한다. 방정식의 계수는 물질의 열전도율, 비열 및 밀도를 고려한다.

3. 해법

열 방정식의 해법에는 그린 함수(열핵), 푸리에 급수, 변수 분리법등 여러 가지가 있다.

3. 1. 그린 함수 (열핵)

열 방정식의 그린 함수는 '''열핵'''(heat kernel영어)이라고 불리며, 다음과 같이 표현된다.

:G(t,\mathbf x)=\frac1{(4\pi Dt)^{n/2}}\exp(-\mathbf x^2/4kt).

이 함수는 다음과 같은 성질을 만족한다.

:G(0,\mathbf x)=\delta^{(n)}(\mathbf x)

:\dot G=D\nabla^2G.

여기서 \delta^{(n)}은 n차원 디랙 델타 함수다. 따라서 그린 함수를 사용하여 열 방정식의 초기 조건 문제를 풀 수 있다.

기본 해는 알려진 위치에 있는 초기 점 열원에서 발생하는 초기 조건에 해당하는 열 방정식의 해이며, ''열 커널''이라고도 한다. 이는 특정 영역에서 열 방정식의 일반 해를 찾는 데 사용할 수 있다.

일변수에서, 그린 함수는 초기값 문제의 해이다. (듀아멜의 원리에 의해, 그린 함수를 첫 번째 방정식의 해로 델타 함수를 갖는 것으로 정의하는 것과 동일하다.)

: \begin{cases}

u_t(x,t) - k u_{xx}(x,t) = 0& (x, t) \in \R \times (0, \infty)\\

u(x,0)=\delta(x)&

\end{cases}

여기서 ''\delta''는 디랙 델타 함수이다. 이 문제의 해는 기본 해(열 커널)이다.

: \Phi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi kt}}\exp\left(-\frac{x^2}{4kt}\right).

−∞ < ''x'' < ∞ 및 0 < ''t'' < ∞에 대한 초기 조건 ''u''(''x'', 0) = ''g''(''x'')를 갖는 일변수 열 방정식의 일반 해는 합성곱을 적용하여 얻을 수 있다.

: u(x,t) = \int \Phi(x-y,t) g(y) dy.

여러 공간 변수에서, 기본 해는 유사한 문제를 해결한다.

: \begin{cases}

u_t(\mathbf{x},t) - k \sum_{i=1}^nu_{x_ix_i}(\mathbf{x},t) = 0 & (\mathbf{x}, t) \in \R^n \times (0, \infty)\\

u(\mathbf{x},0)=\delta(\mathbf{x})

\end{cases}

''n''변수 기본 해는 각 변수의 기본 해의 곱이다. 즉,

: \Phi(\mathbf{x},t) = \Phi(x_1,t) \Phi(x_2,t) \cdots \Phi(x_n,t) = \frac{1}{\sqrt{(4\pi k t)^n}} \exp \left (-\frac{\mathbf{x}\cdot\mathbf{x}}{4kt} \right).

'''R'''''n''에서 열 방정식의 일반 해는 합성곱으로 얻어지므로, ''u''('''x''', 0) = ''g''('''x''')로 초기값 문제를 풀기 위해 다음을 얻는다.

: u(\mathbf{x},t) = \int_{\R^n}\Phi(\mathbf{x}-\mathbf{y},t)g(\mathbf{y})d\mathbf{y}.

영역 Ω in '''R'''''n''에서 일반 문제는 다음과 같다.

: \begin{cases}

u_t(\mathbf{x},t) - k \sum_{i=1}^nu_{x_ix_i}(\mathbf{x},t) = 0& (\mathbf{x}, t) \in \Omega\times (0, \infty)\\

u(\mathbf{x},0)=g(\mathbf{x})&\mathbf{x}\in\Omega

\end{cases}

디리클레 경계 조건 또는 노이만 경계 조건을 갖는다. 그린 함수는 항상 존재하지만, 영역 Ω가 일변수 문제로 쉽게 분해될 수 없는 한, 명시적으로 작성하는 것이 불가능할 수 있다. 그린 함수를 얻는 다른 방법으로는 영상법, 변수 분리법, 라플라스 변환 등이 있다.[6]

3. 2. 푸리에 급수

조제프 푸리에는 1822년에 출판된 논문 ''열의 해석적 이론''에서 1차원 열 방정식의 해법을 제안했다. 이 방법은 변수 분리법을 사용하여 해를 구하며, 푸리에 급수를 이용하여 해를 표현한다.

공간 변수가 하나인 열 방정식은 다음과 같다.

:\displaystyle u_t = \alpha u_{xx}

여기서 ''u'' = ''u''(''x'', ''t'')는 두 변수 ''x''와 ''t''의 함수이다.

  • ''x''는 공간 변수 (''x'' ∈ [0, ''L''], ''L''은 막대의 길이)
  • ''t''는 시간 변수 (''t'' ≥ 0)


초기 조건은 다음과 같다.

:u(x,0) = f(x) \quad \forall x \in [0,L]

여기서 함수 ''f''는 주어지며, 경계 조건은 다음과 같다.

:u(0,t) = 0 = u(L,t) \quad \forall t > 0 .

변수 분리법을 적용하면, ''u(x,t) = X(x)T(t)'' 형태의 해를 얻을 수 있다. 이 해를 열 방정식에 대입하면,

:\frac{T'(t)}{\alpha T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)}

좌변은 ''t''에만, 우변은 ''x''에만 의존하므로, 양변은 어떤 상수 값 −''λ''와 같다. 따라서 다음 두 방정식을 얻는다.

:T'(t) = - \lambda \alpha T(t)

:X''(x) = - \lambda X(x).

λ ≤ 0인 경우에는 자명하지 않은 해가 존재하지 않음을 보일 수 있다. 따라서 λ > 0 이어야 하며, 이 경우 해는 다음과 같다.

:T(t) = A e^{-\lambda \alpha t}

:X(x) = B \sin\left(\sqrt{\lambda} \, x\right) + C \cos\left(\sqrt{\lambda} \, x\right).

경계 조건으로부터 ''C'' = 0이고, 어떤 양의 정수 ''n''에 대해 \sqrt{\lambda} = n \frac{\pi}{L}임을 얻는다.

일반적으로, 경계 조건을 만족하는 열 방정식의 해는 다음과 같이 푸리에 급수로 표현된다.

:u(x,t) = \sum_{n = 1}^{\infty} D_n \sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right) e^{-\frac{n^2 \pi^2 \alpha t}{L^2}}

여기서

:D_n = \frac{2}{L} \int_0^L f(x) \sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right ) \, dx.

3. 3. 일반화

위에 사용된 해법은 다른 많은 종류의 방정식으로 크게 확장될 수 있다. 경계 조건이 0인 연산자 ''u''xx가 그 고유함수로 표현될 수 있다는 아이디어는 선형 자기 수반 연산자의 스펙트럼 이론의 기본 아이디어 중 하나로 이어진다.

선형 연산자 Δ''u'' = ''u''xx를 고려해 보자. 다음의 무한 수열 함수

:e_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right)

''n'' ≥ 1에 대해 Δ의 고유 함수이다. 실제로

:\Delta e_n = -\frac{n^2 \pi^2}{L^2} e_n.

또한 경계 조건 ''f''(0) = ''f''(''L'') = 0을 갖는 Δ의 모든 고유 함수 ''f''는 어떤 ''n'' ≥ 1에 대해 ''e''''n''의 형태를 갖는다. ''n'' ≥ 1에 대한 함수 ''e''''n''은 [0, ''L''] 상의 실수 값을 갖는 함수 공간에서 특정 내적에 대해 정규 직교 수열을 형성한다. 이는 다음을 의미한다.

:\langle e_n, e_m \rangle = \int_0^L e_n(x) e^*_m(x) dx = \delta_{mn}

마지막으로 수열 {''e''''n''}''n'' ∈ '''N'''은 ''L''2((0, ''L''))의 조밀한 선형 부분 공간을 생성한다. 이는 우리가 실제로 연산자 Δ를 대각화했음을 보여준다.

4. 다양한 조건에서의 열 방정식

열 방정식은 다양한 물리적 조건에서 다르게 표현될 수 있다.


  • 균일한 막대에서의 열 흐름: 열 전도와 에너지 보존 법칙에 따라, 얇고 균일한 막대에서 열 방정식은 \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{k}{c \rho} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}와 같이 표현된다. 여기서 k는 열전도율, c는 비열, \rho는 밀도, u는 온도, x는 위치, t는 시간이다. 이 방정식에서 \alpha = \frac{k}{c\rho}는 열확산율을 나타낸다.

  • 복사 손실: 슈테판-볼츠만 법칙에 따라 열 손실을 고려하면, 방정식에 \mu \left(u^4 - v^4\right) 항이 추가된다. 여기서 v는 주변 온도, \mu는 슈테판-볼츠만 상수와 재료의 방사율에 관련된 계수이다. 이 경우 열 방정식은 \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{k}{c \rho} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - \frac{\mu}{c \rho}\left(u^4 - v^4\right)가 된다.

  • 비균일 등방성 매질: 열역학 제1법칙에 따르면, 열 방정식은 \rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} - \nabla \cdot \left( k \nabla T \right) = \dot q_V 형태로 표현될 수 있다. 여기서 \dot q_V 는 체적 열원이다.[1]

  • 3차원 문제: 3차원 공간에서 등방성이고 동질적인 매질 내 열의 전파는 \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2 }\right) 로 표현된다.[1] 여기서 \alpha는 열확산율이다.

  • 내부 열 발생: 물체가 자체적으로 열을 발생시키는 경우, 열 방정식은 \frac{1}{\alpha} \frac{\partial u}{\partial t} = \left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \right) + \frac{1}{k}q와 같이 표현된다.[5] 여기서 ''q''는 단위 부피당 열 발생률을 나타내는 함수이다.

4. 1. 균일한 막대에서의 열 흐름

열 전도 및 에너지 보존의 물리 법칙에서 열 방정식을 유도할 수 있다.[1]

푸리에의 법칙에 따르면, 등방성 매질에서 단위 면적당 열 에너지의 흐름 속도는 표면을 가로지르는 음의 온도 기울기에 비례한다. 균일한 단면과 재료를 가진 얇은 막대의 경우, 위치 ''x''는 단일 좌표이고 x 방향으로의 열 흐름 q = q(t,x)는 스칼라장이다. 이때 방정식은 다음과 같다.

:q = -k \,\frac{\partial u}{\partial x}

여기서 k는 재료의 열전도율, u=u(x,t)는 온도이다.

Q=Q(x,t)를 각 지점과 시간에 막대의 단위 부피당 내부 에너지 (열)라고 하면, 재료의 단위 부피당 열 변화율, \partial Q/\partial t는 온도 변화율, \partial u/\partial t에 비례한다. 즉,

:\frac{\partial Q}{\partial t} = c \, \rho \, \frac{\partial u}{\partial t}

여기서 c는 비열 용량 (기체의 경우 정압에서)이고, \rho는 재료의 밀도 (단위 부피당 질량)이다. 이 유도는 재료가 공간과 시간 모두에서 일정 질량 밀도와 열 용량을 갖는다고 가정한다.

에너지 보존 법칙을 x에 중심을 둔 매질의 작은 요소에 적용하면, 주어진 점 x에서 열이 변하는 속도는 그 점에서의 열 흐름의 도함수 (입자 양쪽의 열 흐름 차이)와 같다는 결론을 내릴 수 있다. 즉,

:\frac{\partial Q}{\partial t} = - \frac{\partial q}{\partial x}

위의 방정식에서 다음이 유도된다.

:\frac{\partial u}{\partial t} \;=\; - \frac{1}{c \rho} \frac{\partial q}{\partial x}

\;=\; - \frac{1}{c \rho} \frac{\partial}{\partial x} \left(-k \,\frac{\partial u}{\partial x} \right)

\;=\; \frac{k}{c \rho} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}

이는 1차원 열 방정식으로, 확산 계수는 다음과 같다.

:\alpha = \frac{k}{c\rho}

이 양은 매질의 열확산율이라고 한다.

4. 2. 복사 손실

슈테판-볼츠만 법칙에 따르면, 열 손실을 설명하기 위해 방정식에 추가적인 항을 도입할 수 있다. 이 항은 \mu \left(u^4 - v^4\right)이며, 여기서 v=v(x,t)는 주변의 온도이고, \mu는 슈테판-볼츠만 상수와 재료의 방사율에 따라 달라지는 계수이다. 내부에너지의 변화율은 다음과 같다.

:\frac{\partial Q}{\partial t} = - \frac{\partial q}{\partial x} - \mu \left(u^4 - v^4\right)

그리고 u의 진화를 위한 방정식은 다음과 같다.

:\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{k}{c \rho} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - \frac{\mu}{c \rho}\left(u^4 - v^4\right).

4. 3. 비균일 등방성 매질

열역학 제1법칙(즉, 에너지 보존)에 의해 주어지는 상태 방정식은 다음과 같은 형태로 작성된다(질량 전달 또는 복사 없음 가정).

:\rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} - \nabla \cdot \left( k \nabla T \right) = \dot q_V

여기서 \dot q_V 는 체적 열원이다. 이 형태는 더 일반적이며 어떤 특성(예: ''cp'' 또는 ''\rho'')이 어떤 항에 영향을 미치는지 인식하는 데 특히 유용하다.[1]

4. 4. 3차원 문제

3차원 공간에서 등방성이고 동질적인 매질 내 열의 전파는 다음 방정식으로 기술된다.[1]

: \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \nabla^2 u =

\alpha \left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} +

\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} +

\frac{\partial^2 u}{\partial z^2 }\right)

여기서,

  • u = u(x, y, z, t) 는 공간과 시간의 함수로서의 온도이다.
  • \tfrac{\partial u}{\partial t} 는 시간에 따른 한 지점의 온도 변화율이다.
  • u_{xx}, u_{yy}, u_{zz} 는 각각 x, y, z 방향의 온도에 대한 2차 공간 미분(''열 전도'')이다.
  • \alpha \equiv \tfrac{k}{c_p\rho}는 열확산율로, 열전도율 k , 비열 c_p , 질량 밀도 \rho 에 의존하는 물질 고유의 양이다.


열 방정식은 푸리에의 전도 법칙(열전도)의 결과이다.

매질이 전체 공간이 아닌 경우, 열 방정식을 고유하게 풀기 위해서는 ''u''에 대한 경계 조건도 지정해야 한다.[1] 전체 공간에서 해의 유일성을 결정하기 위해서는 추가적인 조건이 필요하다. 예를 들어 해의 증가에 대한 지수 경계[1] 또는 부호 조건(비음의 해는 데이비드 위더의 결과에 의해 고유하다)[2]과 같은 조건을 가정할 수 있다.

4. 5. 내부 열 발생

어떤 물체가 열 방정식을 따르고, 추가적으로 단위 부피당 자체적인 열을 발생시킨다고 가정하자(예: W/L). 이때, 이 열 발생률은 공간과 시간에 따라 변하는 알려진 함수 ''q''로 주어진다.[5] 그러면 단위 부피당 열 ''u''는 다음 방정식을 만족한다.

:\frac{1}{\alpha} \frac{\partial u}{\partial t} = \left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \right) + \frac{1}{k}q.

예를 들어, 텅스텐 전구 필라멘트는 열을 발생시키므로, 켜져 있을 때는 ''q''의 값이 0이 아닌 양수가 된다. 전구가 꺼져 있는 동안, 텅스텐 필라멘트에 대한 ''q''의 값은 0이 된다.

5. 열 방정식의 성질

열 방정식은 매질 내에서 열이 퍼져나가는 현상을 설명하는 방정식으로, 다음과 같은 중요한 성질들을 가지고 있다.


  • 최대값 원리: 매질 내 특정 영역에서 가장 높은 온도는 그 영역의 경계에서 나타나거나, 이전 시간에 이미 그 온도에 도달했어야 한다. 외부에서 열이 유입되지 않는 이상, 영역 내부 온도는 스스로 증가할 수 없다.[1] 이는 포물형 편미분 방정식의 특징 중 하나이다.[1]
  • 평활화 효과: 열 방정식에 따라 시간이 지나면서 온도가 높은 곳(봉우리)은 낮아지고, 온도가 낮은 곳(함몰)은 높아져 결국에는 주변 온도와 비슷해진다. 초기 온도 분포에 급격한 변화(불연속성)가 있더라도, 열 방정식에 의해 빠르게 완화되어 부드러운 온도 분포를 가지게 된다.[6]
  • 평균값 성질: 열 방정식의 해는 조화 함수와 유사하게 평균값 성질을 만족한다. 특정 시점의 특정 위치에서의 온도는 "열 공"(heat-ball)이라고 불리는 특수한 영역에서의 과거 온도 값들을 평균하여 얻을 수 있다.[7]


이러한 성질들은 열이 매질 내에서 어떻게 퍼져나가는지를 이해하는 데 중요한 통찰력을 제공한다.

5. 1. 최대값 원리

매질의 임의의 영역에서 온도의 최댓값은 그 영역의 경계가 아닌 한, 이전 시간에 발생한 최댓값을 초과하지 않는다.[1] 즉, 영역의 최대 온도는 열이 외부에서 유입되는 경우에만 증가할 수 있다. 이는 포물형 편미분 방정식의 속성이다.[1]

5. 2. 평활화 효과

열 방정식은 함수의 "무한소 평균화"를 부과하는 것으로 해석할 수 있다. 열 방정식의 해가 주어지면, 작은 시간 후의 값은 $x$를 중심으로 하는 매우 작은 반경의 구에 대한 함수 $u$의 평균값의 $\frac{1}{2n}$배로 근사될 수 있다.

열 방정식은 $u$의 봉우리(국소 극대값)가 점차 침식되고, 함몰(국소 극소값)이 채워짐을 의미한다. 어떤 지점의 값은 주변의 평균값과 동일한 한 안정적으로 유지된다.

최대값 원리에 따르면, 매질의 임의의 영역 $R$에서 $u$의 최대값은 $R$의 경계가 아닌 한 $R$에서 이전에 발생한 최대값을 초과하지 않는다. 즉, 영역 $R$의 최대 온도는 열이 $R$ 외부에서 유입되는 경우에만 증가할 수 있다.

초기에 매질 내부의 어떤 표면을 가로질러 값의 급격한 점프(불연속성)가 있더라도, 그 점프는 해당 표면을 통과하는 일시적이고 무한히 짧지만 무한히 큰 열 흐름률에 의해 즉시 완화된다.[6] 예를 들어, 초기에는 균일하지만 다른 온도 $u_0$와 $u_1$에 있던 두 개의 분리된 물체가 서로 접촉하게 되면, 접촉점의 온도는 즉시 어떤 중간값을 갖게 되며, $u$가 $u_0$와 $u_1$ 사이에서 점차적으로 변화하는 영역이 해당 점 주변에 형성될 것이다.

만약 매질의 한 지점에 특정 양의 열이 갑자기 가해지면, 이것은 확산파의 형태로 모든 방향으로 퍼져나갈 것이다. 탄성파와 전자기파와 달리 확산파의 속도는 시간이 지남에 따라 감소한다. 더 넓은 영역으로 퍼져나가면서 온도 기울기가 감소하고, 따라서 열 흐름도 감소한다.[6]

5. 3. 평균값 성질

열 방정식의 해

: (\partial_t -\Delta)u=0

는 조화 함수의 평균값 성질과 유사한 평균값 성질을 만족한다.[7]

: \Delta u = 0,

하지만 약간 더 복잡하다. 정확히 말하면, 만약 ''u''가 다음을 만족한다면

: (\partial_t -\Delta)u=0

그리고

: (x,t)+E_\lambda\subset\mathrm{dom}(u)

그러면

: u(x,t)=\frac{\lambda}{4}\int_{E_\lambda}u(x-y,t-s)\frac{|y|^2}{s^2}ds\,dy,

여기서 ''Eλ''는 "열 공"(heat-ball)인데, 이는 열 방정식의 기본 해의 상위 수준 집합이다.

: E_\lambda := \{(y,s) : \Phi(y,s) > \lambda\},

: \Phi(x,t) := (4t\pi)^{-\frac{n}{2}}\exp\left(-\frac

6. 정상 상태 열 방정식

정상 상태 열 방정식은 시간에 따라 변하지 않는 열 방정식을 의미한다. 즉, 다음 조건이 만족된다고 가정한다.

:\frac{\partial u}{\partial t} = 0

이 조건은 시간 상수와 경계 조건이 주어진 후 충분한 시간이 지나면 만족된다. '시간 평형 상수가 충분히 빨라' 시간 의존적인 열 방정식을 정상 상태로 근사할 수 있는 상황에서 이 조건이 충족된다. 다시 말해, 열장 '''''u'''''가 더 이상 시간에 따라 변하지 않도록 '충분한 시간이 경과'하면 정상 상태 조건이 존재한다.

정상 상태에서는 공간상의 열 구배(온도 변화)가 존재할 수도 있고, 존재하지 않을 수도 있다. 만약 열 구배가 존재한다면, 시간에 따라 변하지는 않는다. 예를 들어, 자동차 엔진 시동을 걸고 충분한 시간이 지나면 엔진 내부의 온도 분포는 더 이상 변하지 않는데, 이때의 열 방정식을 정상 상태 열 방정식으로 설명할 수 있다. 다른 예로는 공간상의 온도 구배가 모두 사라져 온도가 공간적으로 균일해지는 경우가 있다.

이 방정식은 단순하며, 열 전달 과정의 동역학보다는 재료의 물리학을 이해하는 데 도움을 줄 수 있다. 시간에 따른 온도장 및 열 전달이 평형을 이룬다는 가정하에, 간단한 엔지니어링 문제에 널리 사용된다.

6. 1. 푸아송 방정식

열원을 포함하는 체적에 대한 정상 상태 열 방정식(비동차 경우)은 푸아송 방정식이다.

:-k \nabla^2 u = q

여기서 ''u''는 온도, ''k''는 열 전도도, ''q''는 단위 체적당 열 발생률이다.

정전기학에서 이것은 고려 대상 공간에 전하가 있는 경우와 동일하다.

6. 2. 라플라스 방정식

열원이 없는 정상 상태 열 방정식(동차 경우)은 전하를 포함하지 않는 자유 공간 체적에 대한 정전기학 방정식이며, 라플라스 방정식으로 설명된다.

: \nabla^2 u = 0

7. 응용

열 방정식은 포물형 편미분 방정식의 대표적인 예시로, 순수 수학에서 널리 연구되는 주제이며, 편미분 방정식 분야의 기초로 여겨진다. 리만 다양체에서도 고려되어 기하학적 응용으로 이어지는데, 스펙트럼 기하학과 밀접한 관련이 있다. 예를 들어 조화 사상의 비선형 변형은 미분 기하학에 도입되었고, 리치 흐름의 도입에 영감을 주었으며, 푸앵카레 추측의 증명으로 이어졌다. 열 커널은 아티야-싱어 지표 정리에 적용되는 등 영역에 대한 정보를 제공한다.[8]

열 방정식과 그 변형은 확률 이론, 금융 수학, 양자 역학, 이미지 분석 등 과학과 응용 수학의 여러 분야에서 중요하게 활용된다. 확률 이론에서는 포커-플랑크 방정식을 통해 랜덤 워크와 브라운 운동 연구에 관련되며, 금융 수학의 블랙-숄즈 방정식은 열 방정식의 변형이다. 양자 역학의 슈뢰딩거 방정식은 허수 시간에서 열 방정식으로 볼 수 있다. 이미지 분석에서는 픽셀화를 해결하고 가장자리 감지에 사용되기도 하며, 충격파 (유체역학)의 수학적 공식화에도 유용하다. 또한 1950년대부터 수치 해석 분야에서도 주목받아 왔다.

7. 1. 입자 확산

입자는 다음 방정식을 사용하여 확산을 모델링할 수 있다.

  • 다수 입자의 집단 확산의 경우, 입자의 부피 농도 (''c''로 표시)
  • 단일 입자의 위치와 관련된 확률 밀도 함수 (''P''로 표시)


두 경우 모두 열 방정식

:\(c_t = D \Delta c, \)

또는

:\(P_t = D \Delta P. \)

''c''와 ''P''는 모두 위치와 시간의 함수이다. ''D''는 확산 과정의 속도를 제어하는 확산 계수이며, 일반적으로 1m2 প্রতি 초로 표현된다. 확산 계수 ''D''가 일정하지 않고 농도 ''c''(또는 두 번째 경우의 ''P'')에 따라 달라지는 경우, 비선형 확산 방정식을 얻는다.

7. 2. 브라운 운동

확률 이론에서 열 방정식은 포커-플랑크 방정식을 통해 랜덤 워크와 브라운 운동 연구와 관련이 있다.[8] 확률 과정 X가 다음 확률 미분 방정식의 해라고 하자.

:\begin{cases}

\mathrm{d}X_t = \sqrt{2k}\; \mathrm{d}B_t \\

X_0=0

\end{cases}

여기서 B는 비너 과정(표준 브라운 운동)이다. X의 확률 밀도 함수는 임의의 시간 t에서 다음과 같이 주어진다.

:\frac{1}{\sqrt{4\pi kt}}\exp\left(-\frac{x^2}{4kt}\right)

이것은 다음 초기값 문제의 해이다.

:\begin{cases}

u_t(x,t)-ku_{xx}(x,t)=0, & (x,t)\in\R\times(0,+\infty)\\

u(x,0)=\delta(x)

\end{cases}

여기서 \delta는 디랙 델타 함수이다.

7. 3. 슈뢰딩거 방정식

질량 ''m''인 단일 입자에 어떠한 외부 힘도 작용하지 않는 경우의 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.[8]

:\psi_t = \frac{i \hbar}{2m} \Delta \psi

여기서 ''i''는 허수 단위, ''ħ''는 환원 플랑크 상수이며, ''ψ''는 입자의 파동 함수이다.

이 방정식은 다음과 같은 변환을 통해 얻을 수 있는 입자 확산 방정식과 형식적으로 유사하다.[8]

:\begin{align}

c(\mathbf R,t) &\to \psi(\mathbf R,t) \\

D &\to \frac{i \hbar}{2m}

\end{align}

이 변환을 입자 확산의 경우에 결정된 그린 함수의 표현에 적용하면 슈뢰딩거 방정식의 그린 함수가 생성되며, 이를 통해 다시 ''t'' = 0에서의 파동 함수에 대한 적분을 통해 임의의 시점에서 파동 함수를 구할 수 있다.[8]

:\psi(\mathbf R, t) = \int \psi\left(\mathbf R^0,t=0\right) G\left(\mathbf R - \mathbf R^0,t\right) dR_x^0 \, dR_y^0 \, dR_z^0,

여기서

:G(\mathbf R,t) = \left( \frac{m}{2 \pi i \hbar t} \right)^{3/2} e^{-\frac {\mathbf R^2 m}{2 i \hbar t}}.

양자역학과 확산 사이의 이러한 유추는 순전히 형식적인 것이다. 물리적으로, 슈뢰딩거 방정식을 만족하는 파동 함수의 진화는 확산 이외의 다른 기원을 가질 수 있다.

7. 4. 금융 수학

금융 수학에서 블랙-숄즈 방정식은 열 방정식의 작은 변형이며, 양자 역학의 슈뢰딩거 방정식은 허수 시간에서 열 방정식으로 간주될 수 있다.[8] 열 방정식은 여러 현상에서 발생하며, 특히 금융 수학에서 모형을 통해 옵션을 평가하는 데 자주 사용된다. 블랙-숄즈 모형의 미분 방정식은 열 방정식으로 변환될 수 있으며, 이는 익숙한 수학적 지식을 활용하여 비교적 쉽게 해를 구할 수 있도록 해준다. 단순 옵션 모형의 많은 확장판은 닫힌 형식의 해를 갖지 않으므로, 모형화된 옵션 가격을 얻기 위해서는 수치적으로 풀어야 한다. 다공성 매질 내 압력 확산을 설명하는 방정식은 열 방정식과 동일한 형태를 띤다.

7. 5. 이미지 분석

이미지 분석에서 열 방정식은 픽셀화를 해결하고 가장자리 감지를 위해 사용되기도 한다.[8]

7. 6. 고분자의 열 확산율

열 방정식의 직접적인 실용적 응용은 구면 좌표계에서 푸리에 이론과 함께 열 확산율을 예측하고 고분자의 열 확산율을 측정하는 것이다. 이 이중 이론-실험 방법은 고무, 실용적인 관심사를 가진 다양한 기타 고분자 재료 및 미세 유체에 적용할 수 있다. 이들 저자는 구의 중심에서의 온도 에 대한 식을 도출했다.

:\frac{T_C - T_S}{T_0 - T_S} =2 \sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n+1} \exp\left({-\frac{n^2 \pi^2 \alpha t}{L^2}}\right)

여기서 는 구의 초기 온도이고, 는 반지름 인 구의 표면 온도이다. 이 방정식은 또한 단백질 에너지 전달 및 생물 물리학의 열 모델링에 적용되었다.

7. 7. 리만 기하학

수바라미아 미낙시순다람과 오케 플레이옐의 연구에 따라, 열 방정식은 스펙트럼 기하학과 밀접한 관련이 있다. 1964년 제임스 일스와 조셉 H. 셈슨은 조화 사상의 중요한 비선형 변형을 미분 기하학에 도입하였으며, 이는 1982년 리처드 S. 해밀턴의 리치 흐름 도입에 영감을 주었고, 2003년 그리고리 페렐만의 푸앵카레 추측 증명으로 절정에 달했다. 열 커널로 알려진 열 방정식의 특정 해는 정의된 영역에 대한 미묘한 정보를 제공하며, 이는 아티야-싱어 지표 정리에 적용을 통해 예시된다.[8] 다양체 위의 열 방정식의 추상적인 형태는 아티야-싱어 지표 정리에 대한 주요 접근 방식을 제공하며, 리만 기하학에서 열 방정식에 대한 많은 추가 연구를 이끌었다.

참조

[1] 서적 Computational Financial Mathematics using MATHEMATICA: Optimal Trading in Stocks and Options https://books.google[...] Springer
[2] 서적 Partial Differential Equations https://books.google[...] Springer Science & Business Media 1991-11-20
[3] 웹사이트 Mathworld: Porous Medium Equation http://mathworld.wol[...]
[4] 서적 The Porous Medium Equation: Mathematical Theory Oxford University Press, USA 2006-12-28
[5] 문서 Note that the units of ''u'' must be selected in a manner compatible with those of ''q''. Thus instead of being for thermodynamic temperature (Kelvin - K), units of ''u'' should be J/L.
[6] 웹사이트 Green's Function Library https://www.engr.unl[...]
[7] 문서 Conversely, any function ''u'' satisfying the above mean-value property on an open domain of '''R'''''n'' × '''R''' is a solution of the heat equation
[8] 서적 Heat kernels and Dirac operators Springer-Verlag, Berlin


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